2.3 Método do ponto fixo#
Muitos problemas em ciências e engenharia envolvem a resolução de uma equação que pode ser colocada na forma \(f(x)=0\). Em alguns casos a solução exata \(\overline{x}\) pode ser encontrada por processos analíticos, quando isso não for possível, uma solução aproximada pode ser obtida por métodos numéricos.
Em geral, a solução numérica é obtida por meio de um processo iterativo que gera uma sequência de soluções aproximadas \(x_i\), \(i=1,2,3,...\) a partir de uma aproximação inicial \(x_0\). Se os valores obtidos se aproximam cada vez mais da solução exata \(\overline{x}\), ou seja, \(|\overline{x} -x_i| \rightarrow 0\) quando \(i\rightarrow \infty\), dizemos que a sequência está convergindo para a solução exata.
O Método das aproximações sucessivas, ou método do ponto fixo, consiste em reescrever a equação \(f(x)=0 \) em uma equação equivalente \(x = \phi (x)\) em que \(\phi (x)\) é a chamada função de iteração. A raiz \(\overline{x}\) procurada é obtida por meio de uma sequência de de soluções aproximadas, geradas pelo processo iterativo dado por
Existem muitas formas diferentes de se obter a função de iteração, como é mostrado nos exemplos a seguir.
Exemplo 2.3.1: Seja a equação \(f(x) = x^2-5x=0\), então, algumas possíveis funções de iteração são
(a) \(x_{i+1} = \phi(x_i) = \sqrt{5x_i}\)
(b) \(x_{i+1} = \phi(x_i) = \frac{x_i^2}{5}\)
(c) \(x_{i+1} = \phi(x_i) = x^2 - 4\)
Exemplo 2.3.2: Seja a equação \(f(x) = x^3-x-7=0\), então, algumas possíveis funções de iteração são:
(a) \(x_{i+1} = \phi(x_i) = x_{i}^3-7\)
(b) \(x_{i+1} = \phi(x_i) = \sqrt[3]{x+7}\)
(c) \(x_{i+1} = \phi(x_i) = 7/(x^2-1)\)
De modo geral, sempre é possível obter uma função de iteração multiplicando uma função qualquer \(\theta(x)\) pela equação \(f(x)=0\) e somando \(x\) a ambos os lados obtendo-se
O processo iterativo gera uma sequência de soluções aproximadas a partir de uma solução inicial (“chute” inicial) \(x_0\), como é mostrado abaixo
Geometricamente, interpretamos o processo iterativo como é mostrado nas figuras abaixo, para dois casos distintos. O ponto de intersecção entre o gráfico de \(\phi(x)\) e a reta \(y=x\) é o ponto cuja abcissa é a raix procurada \(\overline{x}\).
Figura 2.3.1 - Método do ponto fixo convergindo para a raiz
Convergência: Seja \(\phi(x)\) uma função contínua e derivável em \(I=[a,b]\) centrado em \(\overline{x}\), então, se \(|\phi'(x)|<1\) em \(I\), a sequência \({x_k}\), \(k=0,1,2,3,..\) gerada por \(x_{k+1}=\phi(x_k)\) converge para a raiz \(\overline{x}\) procurada.
No caso do processo iterativo gerar sequências divergentes, uma interpretação geométrica é mostrada na figura a seguir.
Figura 2.3.2 - Método do ponto fixo divergindo da raiz.
Exemplo 2.3.3: Encontre uma raiz para \(f(x)=x-cosx\) com \(\epsilon = 0.01\).
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['figure.figsize'] = [4,3]
f1 = lambda x: x
f2 = lambda x: np.cos(x)
X = np.linspace(-5, 5, 31)
plt.plot(X, f1(X), "b-", X, f2(X), "r-")
plt.grid()
plt.show()
from math import cos
phi = lambda x: cos(x)
x0 = 0.7
eps = 0.01
# Inicializando as variáveis
err = 10.0
x_ant = x0
i = 0
while err>eps:
x = phi(x_ant)
err = abs(x-x_ant)/abs(x)
x_ant = x
i=i+1
print (i, "| x=%.9f"%x, "| err=%.9f"%err)
1 | x=0.764842187 | err=0.084778518
2 | x=0.721491640 | err=0.060084615
3 | x=0.750821329 | err=0.039063474
4 | x=0.731128773 | err=0.026934457
5 | x=0.744421184 | err=0.017856035
6 | x=0.735480200 | err=0.012156661
7 | x=0.741508652 | err=0.008129981
Exemplo 2.3.4: Encontrar a menor raíz positiva de \( f(x)=2x-\tan(x)\) com \(\epsilon < 0.01\).
Solução: Inicialmente precisamos localizar a menor raiz positiva da função. Sabemos que há uma raíz em \(x=0\) e a outra é próxima de \(\pi/2\). Para conseguir uma boa aproximação inicial, fazemos algumas contas e gráfico:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
for x in np.linspace(0,np.pi,10):
print ("f(",x,")=", 2*x-np.tan(x))
f( 0.0 )= 0.0
f( 0.3490658503988659 )= 0.33416146653152945
f( 0.6981317007977318 )= 0.5571637704181837
f( 1.0471975511965976 )= 0.3623442948243185
f( 1.3962634015954636 )= -2.8787550164267794
f( 1.7453292519943295 )= 9.16194032360637
f( 2.0943951023931953 )= 5.920841012355269
f( 2.443460952792061 )= 5.726021536761403
f( 2.792526803190927 )= 5.9490238406480564
f( 3.141592653589793 )= 6.283185307179586
Na tabela acima para valores da função entre 0 e \(\pi\), já vemos que a menor raíz positiva está entre 1.04 e 1.39. Embora possa parecer qu existe outa raiz entre 1.39 e 1.75, essa é uma conclusão erradapois a função não é contínua em \(x = \pi/2\). Fazendo o gráfico de \(f_1(x)=2x\) e \(f_2(x)=tan(x)\) podemos ter uma ideia melhor da localização dessa raiz e concluir que ela está próxima de \(x=1.2\).
X = np.linspace(0,1.4,50)
plt.plot(X, np.tan(X),"r",X, 2*X,"b")
plt.grid()
plt.show()
Usando o método do ponto fixo, a primeira função de iteração que imediatamente imaginamos é \(\phi(x)=\tan(x)/2\). Mas nesse caso o método converge apenas para a raiz nula já que \(|\phi'(x)|=|\tan(x)/2|\) é maior que 1 para valores próximos de \(x=1.2\) como podemos ver abaixo.
for x in np.linspace(0.8,1.2,6):
print ('x =',x, "phi' =", 2-(1/(cos(x))**2 ))
x = 0.8 phi' = -0.06015555816475615
x = 0.88 phi' = -0.4632872860442183
x = 0.96 phi' = -1.0402051218775918
x = 1.04 phi' = -1.9023027471028362
x = 1.12 phi' = -3.268171142025814
x = 1.2 phi' = -5.615963967207052
Assim precisamos de uma outra função de iteração, talvez \(\phi(x) = \tan^{-1}(2x)\). Podemos testar fazendo algumas iterações e verificando que está se aproximando de um valor fixo próximo de \(x=1.2\).
x = 1.0
for i in range(7):
x = np.arctan(2*x)
print (x)
1.1071487177940904
1.1466039045135867
1.1595864584933437
1.1636959143671342
1.1649805955397388
1.165380637446075
1.16550505598934
Lembrando que \(\frac{d}{dx}(tan^{-1})=\frac{1}{1+x^2}\) fica fácil verificar a convergência.
A seguir a mesma equação resolvida pelo Método de Newton-Raphson, que é assunto da próxima seção.
from math import tan, cos
x = 1.16
for i in range(5):
#x = tan(x)/2
x = x-(2*x-tan(x))/(2-(1/(cos(x))**2))
print (x, 2*x-tan(x))
1.1656668721422732 -0.00046879734426985564
1.1655612229823151 -1.6749979936392378e-07
1.165561185207216 -2.1316282072803006e-14
1.1655611852072112 4.440892098500626e-16
1.1655611852072112 4.440892098500626e-16
Exercícios#
1. Encontre uma aproximação inicial e utilize o método do ponto fixo para as raízes das equações a seguir, se possível, com precisão de \(10^{-5}\).
a) \(f(x)=3x-e^x=0\)
b) \(f(x)=\operatorname{sen}(x)+x^2+1=0\)
c) \(f(x)=\operatorname{sen}(x)-x+2=0\)
d) \(f(x)=2 x-\operatorname{tg}(x)=0\)
e) \(f(x)=3 x-\cos (x)+1=0\)
f) \(f(x)=\ln (x)-\operatorname{sen}(x)=0\)
2. Utilize o método do ponto fixo para encontrar soluções com precisão de \(10^{-5}\), se possível, para os problemas a seguir (Fonte: Burden et al., 2016):
a) \(e^x+2^{-x}+2 \cos x-6=0\)
b) \(\ln (x-1)+\cos (x-1)=0\)
c) \(2 x \cos 2 x-(x-2)^2=0\)
d) \((x-2)^2-\ln x=0\)
e) \(e^x-3 x^2=0\)
f) \(\operatorname{sen} x-e^{-x}=0\)
g) \(x^3+3 x^2-1=0\)
h) \(x^3-2 x^2-5=0\)
i) \(x-0,8-0,2 \operatorname{sen} x=0\)