4.3. Erros na interpolação

Um limitante superior para o erro usando a fórmula de Lagrange

Se \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) são \(n+1\) números distintos, e \(f\) é uma função cujos valores são dados por esses números, então existe um único polinômio \(P(x)\) de grau no máximo \(n\)

\[ f\left(x_k\right)=P\left(x_k\right), \quad \text { para cada } k=0,1, \ldots, n . \]

Esse polinômio é dado por

\[ P(x)=f\left(x_0\right) L_{n, 0}(x)+\cdots+f\left(x_n\right) L_{n, n}(x)=\sum_{k=0}^n f\left(x_k\right) L_{n, k}(x), \]

onde, para cada \(k=0,1, \ldots, n\),

\[\begin{split} \begin{aligned} L_{n, k}(x) & =\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_{k-1}\right)\left(x-x_{k+1}\right) \cdots\left(x-x_n\right)}{\left(x_k-x_0\right)\left(x_k-x_1\right) \cdots\left(x_k-x_{k-1}\right)\left(x_k-x_{k+1}\right) \cdots\left(x_k-x_n\right)} \\ & =\prod_{\substack{i=0 \\ i \neq k}}^n \frac{\left(x-x_i\right)}{\left(x_k-x_i\right)} \end{aligned} \end{split}\]

Um esboço do gráfico de um típico \(L_{n, k}\) quando \(n\) é par é mostrado na Figura 4.3.1 (Burden,2016).

Figura 4.3.1 - Gráfico de um típico \(L_{n, k}\) quando \(n\) é par

Essa fórmula é conhecida como polinômio interpolados de Lagrange.

O próximo passo é calcular um resto ou limitante para o erro envolvido na aproximação de uma função por um polinômio interpolador.

Suponha que \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) sejam números distintos no intervalo \([a, b]\) e que \(f \in\) \(C^{n+1}[a, b]\). Então, para cada \(x\) em \([a, b]\), existe umnúmero \(\xi(x)\) (geralmente desconhecido) entre \(\min \left\{x_0, x_1, \ldots, x_n\right\}\), e o \(\max \left\{x_0, x_1, \ldots, x_n\right\}\) e consequentemente em \((a, b)\), com

\[f(x)=P(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_n\right)\]

onde \(P(x)\) é o polinômio interpolador \(P(x)=\sum_{k=0}^n f\left(x_k\right) L_{n, k}(x)\)

Exemplos:

https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522123414/pageid/137

https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522123414/pageid/139

Uma estimativa para o erro usando a fórmula de Newton de diferenças divididas

O polinômio interpolador de Newton é dado por

\[P(x)=f[x_0]+(x-x_0)f[x_0,x_1]+(x-x_0)(x-x_1)f[x_0,x_1,x_2]+...\]

\[...+(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})f[x_0,...,x_n]\]

onde \(f[x_0]\), \(f[x_0,x_1]\),…,\(f[x_0,...,x_n]\) são as diferenças divididas*

Uma tabela de diferenças divididas é mostrado na Figura 4.3.2.

Figura 4.3.2 - Tabela de diferenças divididas de Newton (Fonte: Chapra, 2016)

Para um polinômio interpolador de grau \(n\), uma fórmula para o erro é dada por

\[ R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \ldots\left(x-x_n\right) \]

onde \(\xi\) é algum ponto no intervalo contendo a variável e os dados. Para essa fórmula ser útil, a função em questão deve ser conhecida e \((n + 1)\) vezes diferenciável. Em geral, esse não é o caso. Felizmente, está disponível uma formulação alternativa que não requer conhecimento anterior da função. Em vez disso, ela usa diferenças divididas finitas para aproximar a \((n + 1)\)-ésima derivada, $\( R_n=f\left[x, x_n, x_{n-1}, \ldots, x_0\right]\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_n\right) \)$

Como a esta contém a incógnita \(f(x)\), ela não determina o erro. Entretanto, se estiver disponível um ponto dado adicional \(f(x_{n+1})\), a equação pode ser usada para estimar o erro, como em

\[ R_n \cong f\left[x_{n+1}, x_n, x_{n-1}, \ldots, x_0\right]\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_n\right) \]

Exemplo: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788580555691/pageid/455

Exercícios:

1. Para as funções \(f(x)\) dadas, construa polinômios interpoladores de graus entre 2 e 5 para determinar uma aproximação de \(f(0,45)\) e encontre o erro absoluto. Encontre um limitante limitante superior para o erro nas aproximações.

a) \(f(x)=\cos x\)

b) \(f(x)=\sqrt{1+x}\)

c) \(f(x)=\ln (x+1)\)

d) \(f(x)=\operatorname{tg} x\)

2. Para as funções \(f(x)\), construa polinômios interpoladores de graus entre 2 e 5 para determinar uma aproximação de \(f(1,4)\), e encontre o erro absoluto. Encontre um limitante limitante superior para o erro nas aproximações.

a) \(f(x)=\operatorname{sen} \pi x\)

b) \(f(x)=\sqrt[3]{x-1}\)

c) \(f(x)=\log _{10}(3 x-1)\)

d) \(f(x)=e^{2 x}-x\)